El máximo común divisor (m.c.d.) o gcf (greatest common factor) de varias expresiones algebraica, es la mayor expresión que divide a las expresiones dadas.
Es el más simple de los casos de factorización, consiste en aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma o la resta en sentido contrario, es decir dado \(aw+ax\) encontrar \(a\left(m+n\right)\), o dado un \(m\left(w+x\right)+n\left(w+x\right)\) encontrar \(\left(m+n\right)\left(w+x\right)\)
Desde ahora en adelante al referirse al m.c.d. de dos expresiones algebraicas se asumirá que existe y es diferente del número uno.
Como extraer un factor común que sea m.c.d. de expresiones algebraicas. 1. Determinar el m.c.d. de los coeficientes de los términos dados (ver conceptos básicos si es necesario). 2. Determinar la o las variables comunes para todos los términos (letra o letras que están en todos los términos), escribiendo ésta con el menor exponente que tenga en el polinomio. 3. Formar un término con los resultados de los pasos uno y dos, el cual es el primer factor de la expresión factorizada. Por ejemplo, si el término encontrado es \(2w\), se escribe \(2w(\) 4. Dividir el polinomio dado, entre el término encontrado (ver división algebraica si es necesario) y escribir los resultados dentro del paréntesis, ya que estos son los términos del segundo factor.
Ejemplo 1. Un factor comúm m.c.d. monomio. Se recuerda que en sentido estricto un monomio es un polinomio que consta de un término, sin embargo, para facilitar la comprensión se estudia este caso de factorización como si no fuera un polinomio.
Factorizar los polinomios: \(a)~20w^2+15wx~~~~~~b)~14w^3x^2+21w^2x\)
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Factor común m.c.d. polinomio.
Para factorizar una expresión algebraica cuyo m.c.d. es un polinomio, se escribe como primer factor el factor común polinomio con el menor exponente y luego los coeficientes de éstos, como segundo factor en la forma:
$$m(w+x)+n(w+x)=(w+x)(m+n)$$
Ejemplo 1. Factorizar \(2m(w+3x)-6n(w+3x)\).
El factor común es el polinomio \((w+3x)\) por tanto se tiene \((w+3x)(2m-6n).\)
Ejemplo 2. Factorizar \((2h+w)xy-(2h+w)\) Solución: note que \((2h+w)\) es el factor común polinomio, por tanto, se tiene \((2h+w)(xy-1)\), esto es porque \(-(2h+w)=-1(2h+w)\)
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Escribir como un producto la expresiones:
\begin{align}
&1.~x^2+x\\
&2.~ax^2+bx^2+cx^2\end{align}
Solución: escribir como un producto es factorizar, de donde factorizando en m.c.d.
\begin{align}
&1.~x(x+1)\\
&2.~ax^2+bx^2+x^2=x^2(a+b+c)\end{align}
Escribir como el producto de sus factores la expresión \(5hx^2+20h^2x^3+35h^4x^4\)
Solución: se busca primero el m.c.d. de los coeficientes \(5, 20\) y \(35\) que es cinco, por ser el único factor común. Ahora se obesevan la o las letras que están en todos los términos (con su menor exponente), esto es \(hx^2\) de donde dividiendo \(5hx^2+20h^2x^3+35h^4x^4\) entre \(5hx^2\) resulta la forma factorizada, $$5hx^2(1+4hx+7h^3x^2)$$
Escribir como un producto el polinomio \(60m^2x^2+90m^4x^4+120m^6x^6\)
Solución: se inicia buscando el m.c.d. de los coeficientes,
\begin{array}{l| l| l| c}
60& 90& 120&{\rm factores~primos~comunes}\\ \hline
30& 45& 60& 2\\
10& 15& 20& 3\\
2& 3& 4& 5\end{array}
Como ya no hay más factores primos comunes se concluye que \(2\times\times3\times5=30\) es m.c.d. de los coeficientes. Ahora se observa la o las letras que están en todos los términos con su menor exponente, esto es \(m^2x^2\) así que el factor común monomio es \(30m^2x^2\) de donde dividiendo la factorización dada entre este factor resulta,
$$60m^2x^2+90m^4x^4+120m^6x^6=30m^2x^2(2+3m^2x^2+4m^4x^4)$$
Factorizar la expresión \((2h+w)xy-(2h+w)\).
Solución: \((2h+w)\) es factor común polinomio, y por tanto se tiene \((2h+w)(xy-1)\), por ser \(-(2h+w)=-1(2h+w)\)
Factorizar la expresión \(4m(2w-5x)+7n(5x-2w)\).
Solución: note que \((2w-5x)\neq(5x-2w)\) para que las cantidades sean iguales factorice \(-7n(2w-5x)\) cambiando signos fuera y dentro del paréntesis, de donde se tiene el factor común polinomio \((2w-5x)\) y por tanto \((2w-5x)(4m-7n)\)
Escribir como el producto de sus factores la expresión \(2x(m+n)+4y(m+n)+5w(m+n)\)
Solución: observando el factor común polinomio\((m+n)\) se tiene,\(2x(m+n)+4y(m+n)+5w(m+n)=(m+n)(2x+4y+5w)\)
Para saber más. Factorizar la expresión \(6x\left(5x-2\right)+7w\ \left(5x-2\right)^2\).
Solución: note que \(\left(5x-2\right)\) es el factor común polinomio, y de esto, \(\left(5x-2\right)\left(6x+7w\left(5x-2\right)\right)=\left(5x-2\right)\left(6x+35wx-14w\right)\)
Dada la expresión \(3x(m+n)^2+2h(m+n)^3+4k(m+n)^4\) escribirla como el producto de sus factores.
Solución: la expresión tiene el factor común polinomio \((m+n)\) el cual debe tomarse con su menor exponente, esto es,
\((m+n)^2(3x+2h(m+n)+4k(m+n)^2)\)
Que si se desea se puede escribir desarrollando los productos del segundo factor.
Expresar como un producto $$\frac34(x+5)+\frac{21}{4}(x+5)^2$$
Solución: el m.c.d. de los coeficientes es \(3/4\) y además \((x+5)\) es factor polinomio, de donde.
\begin{align}
&\frac34(x+5)(1+7(x+5))\\
&\frac34(x+5)(1+7x+35)\\
&\frac34(x+5)(7x+36)
\end{align}
Ampliando saberes. Factorizar la expresión:
\(P(x)=6x\left(2-5x\right)^2+7w^2\ \left(2-5x\right)^3+5h\ \left(2-5x\right)^4\)
Solución:
\begin{align}
&\ \left(2-5x\right)^2\left(6x+7w^2\left(2-5x\right)+5h\left(2-5x\right)^2\right)\\
&\left(2-5x\right)^2\left(6x+14w^2-35w^2x+5h\left(4-10x+25x^2\right)\right)\\
&\left(2-5x\right)^2\left(6x+14w^2-35w^2x+20h-50hx+125hx^2\right)\\
&\left(2-5x\right)^2\left(6x+14w^2-35w^2x+20h-50hx+125hx^2\right)\end{align}
Se ha hecho énfasis en presentar varios ejemplos de estos casos por ser la base para el tema de factorización, vuelva a leer y analizar cada uno de los ejemplos, no se debe avanzar hasta estar seguro de que entiende estos ítems.
